Ch 7 Talor Series and Function

UTG

CPE 332

Computer Engineering

Mathematics II

Week 10

Part III, Chapter 8

Error, Transcendental Function and Power Series Taylor Series and Function Approximation

Today Topics

• Numerical Methods

• Errors

• Transcendental Function

• Series

• Power Series

• Taylor Series

• MacLaurin Series

• Function Approximation

• HW VII

• MT Exam and Cumulative Grades

Numerical Methods

• ในวิชาคณิตศาสตร์ที่เราเรียนที่ผ่านมา การหา

Solution จะประกอบด ้วยการแก ้สมการ ซึ่งรวมถึง

การแก ้สมการพิคณิต การหา Derivative การ

Integrate การแก ้สมการ Differential

Equation รวมถึงการใช ้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์

เพื่อแก ้สมการ เช่น Fourier Transform,

Laplace Transform หรือ Z-Transform

วิธีการดังกล่าวจัดว่าเป็นการแก ้ปัญหาที่เรียก

Analytical Method อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ว่า

สมการทุกสมการจะหาคําตอบได ้(ที่อยู่ในรูปของ

Explicit Form) ดังนั้นเราจําเป็นที่จะต ้องหาวิธีอื่น

ในการแก ้ปัญหา นั่นก็คือวิธีการที่เรียก Numerical Method

Numerical Methods

• วิธีการทาง Numerical ที่เคยใช ้กันมาได ้แก่วิธีการ

Graphical Method และใช ้บวนการ

Interpolation แต่เมื่อมีการประดิษฐ์คอมพิวเตอร์

ขึ้นมา ก็มีการนําคอมพิวเตอร์เข ้ามาใช ้ และขยาย

ขอบเขตของวิชานี้ออกเป็นสาขาใหม่ทาง

คณิตศาสตร์ มีการศึกษา Algorithm และวิธีการ

เขียนโปรแกรม รวมถึงการวิเคราะห์ค่าความ

ผิดพลาด(Error Analysis) และลักษณะการ

Convergence และ Complexity ของ

Algorithm

Y=f(x)=2x3-4x2-7x+5

• หา f(k) เช่น f(0), f(-2), f(7) ง่าย

• แก ้สมการ f(x)=k จะยาก เช่น หาค่า x ที่ทําให ้ f(x) = 0

Quadratic Equation

• Polynomial Degree = 1, Straight Line

– y = f(x) = mx+b; x = (y-b)/m

• Polynomial Degree = 2

• y = f(x) = ax2+bx+c

• แก ้สมการ y = f(x) = 3 เราได ้

– y’ = f’(x) = ax2+bx+(c-3) = 0

– x = [-b±√(b2-4a(c-3))]/2a

• Polynimial Degree = n, n > 2

– ไม่มีสมการโดยตรงในการแก ้,

– แต่มี Algorithm ในวิธีของ Numerical Method

• Algorithm จะเป็น Iterative Method

– คําตอบของ Numerical Method จะให ้แค่ค่าประมาณ

• ค่าจะถูกต ้องขึ้นเรื่อยๆ ใน Iteration ที่สูงขึ้น (คํานวณนานขึ้น) ถ ้า

Algorithm Converge

Start

Iterative

Iteration = 0

Set et

Technique

Init. X0

[Iteration i]

Iteration += 1

โปรแกรมจะ Converge

Calculate xi

ถ้า ei < ei-1

Estimate ei

N

Y

Error e

Stop

i < es

Errors

• ในการนําคอมพิวเตอร์มาช่วยแก ้ปัญหา

ทางด ้านคณิตศาสตร์นั้น จะต ้องเข ้าใจก่อน

ว่าลักษณะการทํางานของคอมพิวเตอร์ หรือ

การคํานวณจะขึ้นอยู่กับวิธีการที่เราเขียน

โปรแกรมและ Algorithm ที่ใช ้ ในการ

คํานวณโดยใช ้เครื่องคํานวณใดใดจะมี

Error เกิดขึ้นเสมอ ซึ่งจะแบ่งได ้เป็นสอง

ประเภทคือ Round- Off Error และ

Truncation Error

Errors

• Round- Off Error เก ิดจากการเก็บ

ต ัวเลขใน Memory ของคอมพ ิวเตอร ์น ั�น

จะใช ้ขนาดของ Memory ที่จําก ัด และ

ข �ึนอยู่ก ับว่าเราให้ต ัวแปรชน ิดอะไร เช ่น

Integer, Long Integer, Float, หร ือ

Double

Errors

• Truncation Error เก ิดจาก Algorithm

หร ือวิธีที่เราให้คอมพ ิวเตอร ์คํานวณ น ั�น

เป็นแค่การประมาณ จากสมการทาง

คณ ิตศาสตร ์ที่เราต ้องการหาค่าโดยใช ้

คอมพ ิวเตอร ์เข ้าช ่วย และเราไม่ได ้แก ้

สมการทางคณ ิตศาสตร ์จร ิงๆ

– การคํานวณ จะต ้องม ีการบวกก ันของ

Infinite Terms จึงจะได ้ค่าที่ถูกต ้อง

ด ังน ั�นคอมพ ิวเตอร ์จะคํานวณ ค่าประมาณ

โดยต ัดเทอมท้ายๆทิ�ง

Precision, Accuracy,

Significant Digit

• ดังนั้นเราจําเป็นที่จะต ้องรู ้ว่า Error เรามีมากแค่ไหน และ

พอจะยอมรับได ้หรือไม่ นั่นขึ้นอยู่กับการนําการคํานวณไป

ใช ้งาน ปกติตัวเลขที่จะไปใช ้งานทางวิศวกรรมศาสตร์จะ

กําหนดด ้วยค่า Significant Digit และจะยอมให ้ความไม่

แน่นอนของตกเลขตกอยู่ที่หลักท ้ายเท่านั้น ดังนั้นค่าของ

Significant Digit จะบ่งบอกถึงจํานวนหลักของตัวเลขที่

จะนําไปใช ้ได ้อย่างมั่นใจ

• คําว่า Accuracy หมายถึงตัวเลขที่เราได ้นั้นมีค่าใกล ้เคียง

กับค่าในความเป็นจริงเท่าไร แต่คําว่า Precision หมายถึง

ตัวเลขที่ได ้มานั้นเกาะกลุ่มกันมากแค่ไหน ดังนั้นค่าของ

Precision จะเป็นตัวกําหนดจํานวนของ Significant Digit ที่จะต ้องใช ้ และค่าของ Error จะเป็นตัวกําหนด

ความ Accuracy ของตัวเลข

การยิงเป้า

Precision = ตํ่า

Precision = สูง

Accuracy = ตํ่า

Accuracy = ตํ่า

Precision = ตํ่า

Precision = สูง

Accuracy = สูง

Accuracy = สูง

Accuracy ว ัดจากค่า Error ที่เกิดระหว่างค่าเฉล่ียของ Data ก ับค่าจริง

Precision ว ัดจากค่า Variance หรือ SD ของกลุ่มของ Data

Significant Digits (Figures)

• คือตัวเลขที่มีความหมายในการกําหนดค่า

Precision

– เป็นเลขทุกตัวยกเว ้นเลขศูนย์นําหน ้า และศูนย์ที่

ต่อท ้าย

• จํานวนศูนย์ต่อท ้ายที่เป็นส่วนของ s.f. บางทีเรากําหนด

โดยใช ้เครื่องหมาย ‘bar’

• Examples

– 11.152 = 5 s.f.

– 0.00879 = 3 s.f.

– 000125600. = 6 s.f.

– 0123400000 = 7 s.f.

• เลขทางขวามือของ s.f. จะไม่นํามาใส่ ให ้ทํา

การ Round-Off เช่น

– 456.389864 (6 s.f.) = 456.390

– 1287563.94 (3 s.f.) = 1290000

Error

• คือค่าที่แตกต่างจากค่าที่แท ้จริง

• เป็นตัวกําหนดค่า Accuracy

• แบ่งเป็น

– Absolute Error, Et

– Relative Error (%จากค่าจริง), et

• นอกจากนี้ยังมี

– Estimated Error, ea

• ค่าประมาณของ Error (Relative Error)

Absolute Error

Relative Error

Error Estimation

• Convergence

• Divergence

Mean Square Error(MSE)

• ในการเปรียบเทียบความแตกต่างระหว่างค่าที่

แท ้จริงกับค่าที่ประมาณได ้ สําหรับกลุ่มของ

ตัวอย่าง เรามักจะใช ้ค่าเฉลี่ยของ Error ในรูปของ

ค่าเฉลี่ยของกําลังสองของ Error ในแต่ละคู่ เรียก

Mean Square Error

– ถ ้าให ้ Y เป็นค่าที่แท ้จริง และ

Yˆ เป็นค่าที่ประมาณได ้

สําหรับคู่ของตัวอย่าง N ตัวอย่าง

1

1 N

MSE =

∑− ˆ

( Y

2

Y )

i

i

N i=0

– ค่า RMSE หรือค่า Root Mean Square Error คือค่า

Square Root ของค่า MSE

N 1

RMSE =

1 ∑− ˆ( Y − 2

Y )

i

i

N i=0

Functions

• เป็นความสัมพันธ์แสดง Set ของ Input

และ Set ของ Output

– Function สามารถรับค่า Input ได ้หลาย Set

(หลายตัวแปร)

– การ Mapping เป็นทางเดียว

• ถ ้า Map กลับจะเป็น อีก Function ที่เป็น Inverse Function กับตัวเดิม

• Inverse อาจจะไม่มีสําหรับบาง Function

x

y

f(.)

y=f(x)

x=f-1(y) อาจจะไม่มี

Polynomial Functions

• เป็นรูปแบบของ Function ที่ง่ายที่สุด

• Polynomial function Degree ‘n’ จะอยู่ใน

รูปของ(One Argument)

n

n

y = f ( x) = a x + a x 1 +  + a x 2 + a x + a n

n −1

2

1

0

n

n

= ∑ i

a x = a +

a x

i

0

ii

i =0

i =1

Polynomial of degree 2:

f(x) = x2 - x - 2

= (x+1)(x-2) Polynomial of degree 3:

f(x) = x3/4 + 3x2/4 - 3x/2 - 2

= 1/4 (x+4)(x+1)(x-2)

Polynomial of degree 4:

f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) + 0.5

Polynomial of degree 5:

f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) + 2

เอามาจาก

http://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial

Polynomial of degree 6:

Polynomial of degree 7:

f(x) = 1/30 (x+3.5)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3)(x-4) + 2

f(x) = (x-3)(x-2)(x-1)(x)(x+1)(x+2)(x+3)

Transcendental Function

• เป็น Function ที่ไม่ใช่ Algebraic

– Algebraic function คือ Function ที่สามารถ

นิยามได ้จาก Root ของสมการ Polynomial

• Transcendental Function ไม่สามารถ

เขียนในรูป Solution ของ Polynomial

– Exponential Function

– Logarithm

– Trigonometric Functions

• ด ้วยเหตุผลนี้ การหาค่าของ Function

อาจจะต ้องใช ้วิธีการประมาณค่าแทน

Transcendental Examples

f ( x) = π

x

1

f ( x) = cx , c ≠ 1

,

0

2

f ( x) = xx

3

1

f ( x) = x x

4

f ( x) = log x, c ≠ 1

,

0

5

c

f ( x) = sin x

6

การประมาณค่าของ Function

• ในส่วนนี้เราจะ Review เรื่อง

– Infinite Series

– Power Series

– Taylor Series

– Maclaurin Series

– การประมาณค่าโดยใช ้ Series

Series และ Infinite Series

• Series คือผลรวมของเทอมใน Sequence ใน

กรณีของ Infinite Series นั้น เทอมที่จะต ้อง

นํามาบวกกันจะไม่มีที่สิ้นสุด

• ถ ้าให ้แต่ละเทอมใน Sequence เป็น an ดังนั้น

Series คือ a1+a2+a3+… เช่น

S = ∑ a = a + a + a +

n

1

2

3

n=1

a = 1

S =

n

n

∑ 1

;

= 1 + 1 + 1 +

2

n

n=1 2

2

4

8

• NOTE: บางครั้ง Index ของ Summation อาจจะเริ่มที่ 0 ก็ได ้

Convergence of Series

• Series จะ Converge ก็ต่อเมื่อผลรวมของ

Term สามารถหาค่าได ้

– กล่าวคือผลรวมของเทอมจนถึง N มี Limit

N

S = ∑

a = lim S = lim

a

n

N

N →∞

N →∞

n

n=0

n=0

• ถ ้า Series ไม่ Converge มันจะ Diverge

Power Series

• Power Series เป็น Infinite Series ใน

รูปของ (c = Constant, an = coefficient,

x เป็น Variable ที่อยู่รอบๆ c)

f ( x) = ∑

a ( x

n

c)

n

n=0

– Power Series ที่สําคัญคือ Taylor Series

• ในกรณีที่ c=0 เราได ้

f ( x) = ∑∞ a xn = a + a x+ 2

a x +

3

a x + 

n

0

1

2

3

n=0

– เช่นในกรณีของ Maclaurin Series

Taylor Series/Maclaurin Series

• ให ้ f(x) เป็น Function ที่สามารถหา

Derivative ได ้อย่างไม่จํากัดในช่วง

ใกล ้เคียงกับ a ดังนั้น Taylor Series ของ

f(x) คือ Power Series ในรูปของ

(3)

( n)

f a

f

a

f

a

f

a

f ( a) +

'( )

''( )

( )

( )

2

3

n

( xa)+

( x a) +

( x a) + = ∑

( x a)

!

1

!

2

!

3

n

n=

!

0

• ในกรณีที่ a = 0 บางครั้งเราเรียก Maclaurin Series

(3)

( n)

f

f

f

f

f ( x) = f ( )

0 +

'( )

0 x + ''( )

0

(0)

(0)

2

x +

3

x + = ∑

n

x

!

1

!

2

!

3

n

n=

!

0

Example 1

(3)

(4)

f ''( a)

f

( a)

f

( a)

• จาก

f ( x) = f( a)+ f '( a)( xa)+

( x

2

a) +

( x

3

a) +

( x

4

a) + ...

!

2

!

3

!

4

(3)

(4)

f

f

f

f ( x) = f (0) + f '(0) x +

''( )

0

( )

0

( )

0

2

x +

3

x +

4

x + ..

!

2

!

3

!

4

Suppos

e f ( x) = x

e , f '( x) = x

( n)

e ,..., f

( x) = x

e

( n)

f

( )

0 = 1

2

3

4

k

x

x

x

x

ha

We

ve f ( x) = x

e = 1+ x +

+

+

+ ... = ∑∞

!

2

!

3

!

4

k

k =

!

0

Example f

ind f ( )

2

2

= e

2

4

Second O

rder A

pproximat ion : e ≈ 1 + 2 +

= 5

2

2

4

8

16

Forth Order A

pproximat ion : e ≈ 1 + 2 +

+ +

= 7

2

6

24

2

4

8

16

32

64

Sixth Order A

pproximat ion : e ≈ 1 + 2 +

+ +

+

+

= .

7 356

2

6

24

120

720

2

4

8

16

32

64

128

256

Eighth Order A

pproximat ion : e ≈ 1 + 2 +

+ +

+

+

+

+

= 3873

.

7

2

6

24

120

720

5040

40320

Actual V

alue : 2

e = 7 389056099

.

นักศึกษาหาค่าประมาณของ e-2 ถึง 4 Significant Digit ได ้หรือไม่

Example 2:

(3)

(4)

f

f

f

f ( x) = f ( )0 + f '( a) x + ''( )0

( )

0

( )

0

2

x +

3

x +

4

x + ..

!

2

!

3

!

4

Suppos

e f ( x) = sin x, f '( x) = cos x, f ''( x) = − sin x, f '''( x) = −

(4)

cos x, f

= sin( x),...

3

5

7

n

x

x

x

ha

We

ve f ( x) = sin x = 0 + x + 0 −

+ 0 +

+ 0 −

+ ... = ∑∞ (− )1

2 n+1

x

!

3

!

5

!

7

n

n=

(2

)!

1

0

+

Example f

ind f (0 )

5

.

= sin .

0 5 radian

Second O

rder A

pproximat ion s

: in 0 5

.

5

.

0

5

.

0 3

Fort O

h rder A

pproximat ion : sin 0 5

.

5

.

0

= 47916

.

0

667

!

3

5

.

0 3

5

.

0 5

Sixth Order A

pproximat ion : sin 0 5

.

5

.

0

+

= 47942

.

0

708

!

3

!

5

5

.

0 3

5

.

0 5

5

.

0 7

Eighth Order A

pproximat ion : sin 0 5

.

5

.

0

+

= 47942

.

0

5533

!

3

!

5

!

7

Actual V

alue : sin 0 5

. = .

0 479425538

นักศึกษาหาค่าประมาณของ cos 0.5 ถึง 8 Significant Digit ได ้หรือไม่

Taylor (Maclaurin) Series

n

2

3

4

x

x

x

x

xe =∑ =1+ x+ + + +;∀ x

n

n=

!

!

2

!

3

!

4

0

n

x

log(1− x) = −∑

; −1 ≤ x < 1

n

n=1

n

x

log(1+ x) = ∑

n+

(−

1

)

1

; −1 < x ≤ 1

n

n=1

1

= ∑∞ n

x ; x < 1

1− x

n=0

m+

1−

1

m

x

= ∑ n

x ; x ≠ 1

1− x

n=0

x

=

n

nx ; x

1

2

∑∞

<

1

( − x)

n=0

n

n

1+ x

∑∞ (−

=

)

1 (2 )!

n

x = 1+ 1 x − 1 2

x + 1 3

x − 5

4

x + ; x < 1

2

2

8

16

128

n n

n

n=

1

(

2 )( !) (4 )

0

n

3

5

x

x

sin x = ∑

(− )

1

2 n+1

x

= x

+

−; ∀ x

n

n=

(2

)

1 !

!

3

!

5

0

+

n

x

x

cos x

∑∞ (−

2

4

=

)

1

2 n

x

= 1−

+

−; ∀ x

n

n=

(2 )!

!

2

!

4

0

MATLAB Program

• จะสาธิตการเขียน Function โดยใช ้ MATLAB

– เขียน Function ที่รับค่า Vector x และ Vector y return z1 และ z2; x=-3:.1:3; y = -3:.1:3

– คํานวณค่า z1 = 2sin(x^2+y^2)/(x^2+y^2)

– คํานวณค่า z2 = xsiny-ycosx

– mesh (x,y,z1), (x,y,z2), (x,z1), (y,z2) และ (z1,z2)

– Surf function, shading modes

– Contour plot

• ศึกษาวิธีการเขียน Function ใน MATLAB โดยดู

จาก Tutorial 4-5

END OF WEEK 10

Download HW 7

Next Week Chapter 9: Zeros of

Functions

MATLAB Program

function [z1,z2]=test(x,y)

% function [z1,z2]=test(x,y)

% Test matlab program calculate z1=f(x,y)=sin(x^2+y^2)/(x^2+y^2)

% and z2=f(x,y)=xsiny-ysinx

n=length(x);

m=length(y);

z1=zeros(n,m);

z2=zeros(n,m);

for i = 1:n

for j= 1:m

t=x(i)^2+y(j)^2;

if (t ~= 0)

z1(i,j)=sin(t)/t;

else

z1(i,j)=1;

end

z2(i,j)=x(i)*sin(y(j))-y(j)*cos(x(i));

end

end

MATLAB Program

• function view2(x,y,z,az)

• mesh(x,y,z);

• view(0,az);

• for i = 0:10:360

• view(i,az);

• pause(0.05);

• end

MATLAB Program

• function view3(az)

• view(0,az);

• for i = 0:10:360

• view(i,az);

• pause(0.05);

• end

Document Outline

Table of contents

previous page start